Пунктуация при союзе «да и» зависит от его значения и синтаксической функции. Не ставится запятая перед союзом «да и», имеющим соединительное значение, а также присоединяющим слова, которые указывают на неожиданный переход от одного действия к другому (как правило, в глагольных сочетаниях).

Поехал в город да и не вернулся. Думал, думал да и надумал. Он слушал, слушал да и заснул. Федя взял да и приехал к родителям.

Отделяются или выделяются запятыми вводимые союзом «да и» присоединительные конструкции (слова или предложения), содержащие дополнительные замечания или разъяснения к сказанному ранее. 

День и план наступления держались в строжайшей тайне. Но то, что оно готовится, скрыть было невозможно, да и не надо было скрывать. Л. Брежнев, Малая земля. На станции оставался только один передатчик, да и тот старый.

ДА (И) ПРИТОМ

ДА И ВООБЩЕ

ДА И ДЕЛО С КОНЦОМ

ДА И ТО СКАЗАТЬ

ДА И ТОЛЬКО

ПО ДАННЫМ / СВЕДЕНИЯМ (кого, чего, чьим), в составе вводного сочетания

Вводные сочетания «по данным (кого-либо, чего-либо, чьим-либо)», «по сведениям (кого-либо, чего-либо, чьим-либо)», а также вводные сочетания «по имеющимся / неофициальным / предварительным... данным», «по имеющимся / неофициальным / предварительным... сведениям» обособляются. Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2.

Позвольте, Андрей Иванович, в Москве, по данным последней переписи, больше двух миллионов жителей? И. Ильф, Е. Петров, Двенадцать стульев. По данным комендатуры, фамилия капитана – Николаев, лейтенанта – Сенцов. В. Богомолов, Момент истины. Встретил Сперанского. Говорит, что, по сведениям «Русских Ведомостей», в Петербург едет немецкая комиссия... И. Бунин, Окаянные дни. По имеющимся данным, в глубине его обороны происходит перегруппировка. Э. Казакевич, Звезда. Военком... добавил, что, по предварительным данным, в течение первого часа после сообщения по радио о начале войны в военкоматы поступили тысячи заявлений от добровольцев. А. Чаковский, Блокада. По имеющимся сведениям, Германия в три часа ночи объявила общую мобилизацию. Л. Соболев, Капитальный ремонт.

! Не смешивать с употреблением в роли членов предложения.

Само название говорило об их планах – сбросить нас в море. По данным разведки мы знали об этом. Л. Брежнев, Малая земля. По сведениям о сыскивающемся по Высочайшему повелению мятежнике коллежском асессоре Кюхельбекере известно, что сестра его в замужестве есть за смоленским помещиком Глинкою... Ю. Тынянов, Кюхля.

Современные словари русского языка рекомендуют писать оба слова в названии плацдарма под Новороссийском с большой буквы: Малая Земля (см., например: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011). Но в книге Брежнева (и в названии, и в тексте) слово земля написано с маленькой буквы: Сегодня мне хочется рассказать о сравнительно небольшом участке войны, который солдаты и моряки назвали Малой землей. Корректно сохранять такое написание, если речь идет о книге.